帕斯卡定理

帕斯卡定理

（该定理曾由XGJ同学用建系的方法证明，故又称为XGJ大定理） 帕斯卡定理，指任何圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形，比如有六个点的四边形）其三个对边的交点共线。为了研究方便，我们只研究在圆中的情况。 如上图，$X、Y、Z$三点共线。

帕斯卡定理的证明

为了更好地讲述帕斯卡定理的证明，我们要先来了解一个定理。

梅涅劳斯定理

如上图，若$D、E、F$三点共线，则有$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot\frac{CE}{EA}=1$，此时我们称三角形$ABC$为梅氏三角形，$DEF$为梅氏线。

证明： 过点$A$作$AG//BC$交$FD$延长线于$G$。 易得$\triangle AGD\sim\triangle BFD,\triangle AGE\sim\triangle CFE$, $\therefore \frac{AD}{DB}=\frac{AG}{BF},\frac{CE}{EA}=\frac{CF}{AG}$, $\therefore \frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{AG}{BF}\cdot\frac{CF}{AG}\cdot\frac{BF}{CF}=1$,证毕。

梅涅劳斯定理逆定理

还是这张图，如果能满足$\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BF}{CF}\cdot\frac{CE}{EA}=1$，则能得到$D、E、F$三点共线。该结论使用同一法即可证明，不再赘述。

证明方法一：梅涅劳斯定理法

延长$DB$和$EA$交于点$G$，记$CF$和$BD$交于点$M$，$AE$和$CF$交于$N$。 我们要证$X、Y、Z$三点共线，只要证明$\frac{GX}{XM}\cdot\frac{MY}{YN}\cdot\frac{NZ}{ZG}=1$， 我们以$\triangle GMN$为梅氏三角形，分别以$BZF、AYD、CXE$为梅氏线运用梅涅劳斯定理，可以得到三个式子： $$\frac{GB}{BM}\cdot\frac{MF}{FN}\cdot\frac{NZ}{ZG}=1 \rightarrow \frac{NZ}{ZG}=\frac{BM}{GB}\cdot\frac{FN}{MF}$$ $$\frac{GD}{DM}\cdot\frac{MY}{YN}\cdot\frac{NA}{AG}=1 \rightarrow \frac{MY}{YN}=\frac{DM}{GD}\cdot\frac{AG}{NA}$$ $$\frac{GX}{XM}\cdot\frac{MC}{CN}\cdot\frac{NE}{EG}=1 \rightarrow \frac{GX}{XM}=\frac{CN}{MC}\cdot\frac{EG}{NE}$$ 上面三个式子相乘，可以得到 $$\frac{GX}{XM}\cdot\frac{MY}{YN}\cdot\frac{NZ}{ZG}=\frac{(GA\cdot GE)(BM\cdot DM)(CN\cdot FN)}{(GB\cdot GD)(MC\cdot MF)(NA\cdot NE)}$$ 由圆幂定理可以知道$GA\cdot GE=GB\cdot GD，BM\cdot DM=MC\cdot MF，CN\cdot FN=NA\cdot NE$ 于是便有$\frac{GX}{XM}\cdot\frac{MY}{YN}\cdot\frac{NZ}{ZG}=1$，证毕。

共角定理

上面的证明貌似能够证明所有的情况，但是接下来就是一个反例！ 上图中，$CE//BF$，$BD//AE$，也就是说延长线段构造梅氏三角形的方法不适用了！我们该何去何从？ 我们需要换另外一种证明方法，在那之前我们要了解另外一个简单的定理。 共角定理 两个三角形有一对角相等或互补时，其面积之比等于其角的两边乘积之比，例如上图中就有： $$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}$$ $$\frac{S_{\triangle AFG}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AF\cdot AG}{AB\cdot AC}$$ 证明也非常简单，只要用三角形面积公式$S_\triangle=\frac{1}{2}ab\sin C$就行了。

证明方法二：面积法

为了证明$X、Y、Z$三点共线，我们只需要证明$CF、AD、XZ$三线共点就行了。如何证明？我们采用同一法。 由上面两张图，我们只需要证明$\frac{XY_1}{Y_1Z}=\frac{XY_2}{Y_2Z}$ 如上面两张图作辅助线。 $$\frac{XY_1}{Y_1Z}=\frac{S_{\triangle XCF}}{S_{\triangle ZCF}}=\frac{S_{\triangle XCF}}{S_{\triangle AZF}}\cdot\frac{S_{\triangle DCX}}{S_{\triangle ZCF}}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}$$ 因为$\angle XCF=\angle ZAF$，运用共角定理可知$\frac{S_{\triangle XCF}}{S_{\triangle AZF}}=\frac{XC\cdot CF}{AZ\cdot AF}$，同理可知$\frac{S_{\triangle DCX}}{S_{\triangle ZCF}}=\frac{CD\cdot DX}{CF\cdot ZF}$，于是有 $$\frac{XY_1}{Y_1Z}=\frac{XC\cdot CF}{AZ\cdot AF}\cdot\frac{CD\cdot DX}{CF\cdot ZF}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}=\frac{XC\cdot CD\cdot DX}{AZ\cdot ZF \cdot FA}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}$$ 同理有 $$\frac{XY_2}{Y_2Z}=\frac{S_{\triangle DXA}}{S_{\triangle DZA}}=\frac{S_{\triangle DXA}}{S_{\triangle FAZ}}\cdot\frac{S_{\triangle DCX}}{S_{\triangle DZA}}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}=$$ $$\frac{DA\cdot DX}{FZ\cdot FA}\cdot\frac{DC\cdot CX}{DA\cdot AZ}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}=\frac{DC\cdot CX\cdot DX}{AZ\cdot ZF\cdot AF}\cdot\frac{S_{\triangle AZF}}{S_{\triangle DCX}}$$ 上下两式相等，$\frac{XY_1}{Y_1Z}=\frac{XY_2}{Y_2Z}$，命题得证。

帕斯卡定理的退化及其应用

文章的一开头我们就说了，任何的六边形，不管是什么首尾连接方式，不管是什么退化，都能满足帕斯卡定理，因此这是一个很强的定理，在证明三点共线时会遇见它。 这两个都是帕斯卡定理在形外的版本。

不过，如果六边形退化了呢？ 当两个点不断接近，直到最终重合时，两点间的连线就会退化为切线，如下图： 其中$CZ$ 为圆的切线，可以发现$X、Y、Z$仍然三点共线。同理，其他的点也可以逐一重合，图形不断退化，因此即便一个看似普通的三点共线，也有可能是帕斯卡定理的退化！ 题目 设$H$是锐角$\triangle ABC$的垂心，$M$是$BC$的中点，以$AH$为直径作圆与AB、AC分别交于点$D、E$，$AH$交$DE$于$P$，过$H$作$AH$的垂线交$DM$于点$Q$，求证：$P、Q、B$三点共线。