一元三次方程求根公式推导

前言

注意，在本文章中，推导过程都是在解简化的一般三次方程：$x^3+px+q=0$。 为什么呢？ 一般三次方程，即$ax^3+bx^2+cx+d=0$，与首1三次方程$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$是同解的，所以我们只要求解 $$y^3+ay^2+by+c=0$$ 这一类的方程就行了。在上式中，我们令$y=x-\frac{a}{3}$，我们就能得到$x^3+ax+b=0$类的方程了。由上我们可知，找到了简化的一般三次方程的求根公式，也就找到了求解所有三次方程的一般方法。

方法一：许德方法

题目：求解方程 $x^3+px+q=0$(1.1). 解：令$x=u+v$，带入原方程，化简可得： $$(u^3+v^3)+3uv(u+v)+p(u+v)+q=0$$ 由于$x$是一个未知数，而$u$、$v$是两个未知数，若它们毫无限制，势必会增加方程的复杂程度。因此，我们为$u$、$v$增加一个限定条件：$3uv=-p$（注：$u$、$v \in C$，所以满足条件的$u$和$v$是必定存在的。） 于是上述方程可以化为 $$u^3+v^3+q=0$$ 将$v=\frac{-p}{3u}$代入可得： $$u^6+qu^3-\frac{p^3}{27}=0$$ 如果解出了一个$u$，我们就由$v=\frac{-p}{3u}$来配成一对，从而就能通过$x=u+v$得出原方程的一个解。 上面的方程，可以看成一个关于$u^3$的一个一元二次方程，就有 $$u^3=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4p^3}{27}}}{2}=\frac{-q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$$ 我们不妨选定$u=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$，则$v=\frac{-p}{3u}=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$. 两者相加，即得到了简化的一般首1的三次方程的求根公式——卡尔达诺公式： $$x=u+v=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

方法二：范德蒙方法

（下面有一大段废话，不想看的可以直接跳过） 首先我们要来了解一些东西：

对称式

对于两个变量$\alpha_1$、$\alpha_2$来说，表达式$\sigma_1=\alpha_1+\alpha_2$与$\sigma_2=\alpha_1\alpha_2$都是对称式，因为它们在$\alpha_1$变为$\alpha_2$，$\alpha_2$变为$\alpha_1$的同时置换下均保持不变。上述置换，我们可以把它表示为 $$(\alpha_1,\alpha_2) \rightarrow (\alpha_2,\alpha_1)$$ 或者更简单地表示为 $$ (21)$$ 我们把$\sigma_1,\sigma_2$称为基本对称多项式或初等对称多项式。 二元的对称式就是在 $$ S_2=\lbrace{ (12), (21)}\rbrace $$ 的变换下是不变的。 同理，三元的对称式则是在 $$ S_3=\lbrace(123),(132),(213),(231),(312),(321) \rbrace=\lbrace g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6 \rbrace$$ 的置换下不变。

牛顿定理

任何一个关于$\alpha_1$,$\alpha_2$,$\alpha_3$,$\cdots$,$\alpha_n$的对称多项式都可以表示为初等对称多项式$\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n$的一个多项式。
现在我们就可以开始了解范德蒙方法了。

范德蒙方法运用：一元二次方程

题目：求解方程$x^2+ax+b=0$。 解：我们的目标：将方程的两个解$x_1$与$x_2$用他们本身“轮换对称”地用相似的形式表示。 找到方程$x^2=1$的两个解$\pm1$，我们可以得到： $$x_1=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)+(x_1-x_2)]$$ $$x_2=\frac{1}{2}[(x_1+x_2)-(x_1-x_2)]$$ 由韦达定理，我们有$x_1+x_2=-b$，$x_1-x_2=\sqrt{b^2-4c}$，我们利用上面两个式子结构的相似我们可以直接写出求根公式： $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$$

正片开始：范德蒙法解一元三次方程

题目：求解方程$x^3+px+q=0$。 解：找到方程$x^3=1$的三个根$1,\omega,\omega^2$满足$1+\omega+\omega^2=0,\omega^3=1$，我们有 $$x_1=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)+(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)]$$ $$x_2=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+\omega^2(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)+\omega(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)]$$ $$x_3=\frac{1}{3}[(x_1+x_2+x_3)+\omega(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)+\omega^2(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)]$$ 同上，我们需要求出$x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3$和$x_1+\omega^2x_2+\omega x_3$的值，我们令$U=(x_1+\omega x_2+\omega^2 x_3)^3,V=(x_1+\omega^2x_2+\omega x_3)^3$，于是方程的三个根我们可以统一表示为： $$x=\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3)+\sqrt[3]{\frac{U}{27}}+\sqrt[3]{\frac{V}{27}}$$ 接下来，我们要将$U$，$V$用对称多项式表示，再用韦达定理代入。首先，我们要知道谁是对称式。 对$U$，$V$施行上面$S_3$中的各置换，我们有下列结果：

由此可见，$U$和$V$都不是对称式，但是$U+V$和$UV$是对称式。由徐冠军同学最爱的暴算，我们可以得到： $$U+V=2x_1^3+2x_2^3+2x_3^3-3x_1^2x_2-3x_2^2x_3-3x_3^2x_1-3x_1x_2^2-3x_2x_3^2-3x_3x_1^2+ \ 12x_1x_2x_3$$ $$UV=(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1)^3$$ 再加上韦达定理的结论$x_1+x_2+x_3=0,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=p,x_1x_2x_3=-q$,我们就可以把式子变形： $$U+V=-27q,UV=-27p^3$$ 我们便可以算出U、V的值： $$U=\frac{-27q+\sqrt{729q^2+108p^3}}{2} , V=\frac{-27q-\sqrt{729q^2+108p^3}}{2}$$ 再全部代入上面的$x=\frac{1}{3}(x_1+x_2+x_3)+\sqrt[3]{\frac{U}{27}}+\sqrt[3]{\frac{V}{27}}$，我们便又得到了卡尔达诺公式： $$x=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$$

方法三：拉格朗日的预解式

方法的阐明：一元二次方程

题目：求解方程$x^2+ax+b=0$。 解：我们设$x_1$和$x_2$是原方程的两个根，此时有$\sigma_1=x_1+x_2=-p$,$\sigma_2=x_1x_2=q$。 我们定义一个称为预解式的新变量：$r_1=x_1-x_2$,$r_2=-r_1=x_2-x_1$。 他们在$S_2$的作用下，有 $$(12):r_1\rightarrow r_1,r_2\rightarrow r_2;(21):r_1\rightarrow r_2,r_2\rightarrow r_1.$$ 够早以$r_1$和$r_2$为根的辅助方程，称为预解方程： $$F(X)=(X-r_1)(X-r_2)=0$$ 显然，他在$S_2$的变换下是不变的，因此它的系数应该是关于$x_1、x_2$的对称多项式，所以是可以用 $\sigma_1$和$\sigma_2$表示的，因此这个预解方程是系数已知的。 从$r_2=-r_1$，我们得到： $$F(X)=X^2-r_1^2=X^2-(x_1-x_2)^2=X^2-(p^2-4q)=0$$ 因此 $$r_{1,2}=\pm\sqrt{p^2-4q}$$ 我们取$r_1=\sqrt{p^2-4q}$，则$r_1=x_1-_2$，$x_1+x_2=-p$，从而原方程的解 $$x=x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$

方法的运用：一元三次方程

题目：求解方程$x^3+px+q=0$. 解：我们引入一个预解式$r_1=x_1+\omega x_2+\omega^2x_3$，其中$x_1、x_2、x_3$都是原方程的根。 通过3.2中的$S_3$的变换，我们便能得到其他5个预解式： $$r_2=\omega x_1+\omega^2 x_2 +x_3=\omega r_1 $$ $$r_3=\omega^2 x_1+x_2 +\omega x_3=\omega^2 r_1 $$ $$r_4=x_1+\omega^2 x_2 +\omega x_3$$ $$r_5=\omega x_1+x_2 +\omega^2 x_3=\omega r_4$$ $$r_6=\omega^2 x_1 + \omega x_2 + x_3=\omega^2 r_4 $$ 至此我们可以构造拉格朗日预解方程了。 $$F(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_6)=(x^3-r_1^3)(x^3-r_4^3)=0$$ 还记得上面的范德蒙方法吗？我们只要令$r_1^3=U,r_4^3=V$,我们便又能回到上面，再一次得到卡尔达诺公式。